Wird in der Tabelle überhaupt der Nickname gespeichert, oder nur die ID?

Falls nicht, mußt du auf die Userdaten zugreifen, also die DB Abfrage erweitern.
PHP-Code:
$game1 = mysql_fetch_array(db_query("SELECT user FROM vmsBonusGewinner WHERE GID='13160'")); 
Gibt die User ID aus.

Nun musst Du, falls nicht vorhanden, den Nickname aus der Tabelle vms_userdaten abfragen
PHP-Code:
$game_nick = mysql_fetch_array(db_query("SELECT nickname FROM '.$db_prefix.'_userdaten WHERE uid='.$game1['user'].' LIMIT 1")); 
Die Ausgabe würde dann
<?=$game_nick['nickname'];?>
sein.

Aber von mir nicht getestet.